Celem pracy jest dokonanie analizy polskiej giełdy i weryfikacja hipotezy, czy poszczególne indeksy branżowe notowane na polskiej giełdzie zależą tylko od rynku czy wpływają na nie również inne cechy.
Dane zostały pobrane w dniu 29.10.2021 roku ze strony Stooq i dotyczą okresu od marca 2009 roku do września 2021 roku. Zbiór danych dotyczy wartości zamknięcia dla indeksów (w ujęciu miesięcznym):
wig_m <- read.csv('wig_m.csv')
wig_banki <- read.csv('wig_banki_m.csv')
wig_budow <- read.csv('wig_budow_m.csv')
wig_chemia <- read.csv('wig_chemia_m.csv')
wig_info <- read.csv('wig_info_m.csv')
wig_media <- read.csv('wig_media_m.csv')
wig_nrchom <- read.csv('wig_nrchom_m.csv')
wig_paliwa <- read.csv('wig_paliwa_m.csv')
wig_spozyw <- read.csv('wig_spozyw_m.csv')
wig_telkom <- read.csv('wig_telkom_m.csv')
data <- as.Date(wig_banki$Data)
wig <- as.data.frame(cbind(wig_banki$Data, wig_m$Zamkniecie, wig_banki$Zamkniecie, wig_budow$Zamkniecie,
wig_chemia$Zamkniecie, wig_info$Zamkniecie, wig_media$Zamkniecie,
wig_nrchom$Zamkniecie, wig_paliwa$Zamkniecie, wig_spozyw$Zamkniecie,
wig_telkom$Zamkniecie))
wig$V1 <- as.Date(wig_banki$Data)
colnames(wig) <- c('Data', 'wig', 'wig_banki', 'wig_budow', 'wig_chemia', 'wig_info', 'wig_media',
'wig_nrchom', 'wig_paliwa', 'wig_spozyw', 'wig_telkom')
# Dane z okresu 03.2009 do 09.2021
dane <- wig[51:201,]Rozdział został poświęcony omówieniu wykorzystanych metod oraz przeprowadzeniu analizy empirycznej.
T <- nrow(dane) - 1
N <- ncol(dane) - 2
K <- 1
stopa_wolna_od_ryzyka <- 0.01/12
stopa_prosta <- as.data.frame(matrix(data = NA, nrow = nrow(dane)-1, ncol(dane)-1))
for (i in 2 : ncol(dane))
{
for (j in 2 : nrow(dane))
{
stopa_prosta[j-1, i-1] <- (dane[j,i] - dane[j-1,i])/dane[j-1,i] - stopa_wolna_od_ryzyka
}
}
stats <- describe(stopa_prosta)
stopa_prosta_stat <- stats[,3:5]
rownames(stopa_prosta_stat) <- c('wig', 'wig_banki', 'wig_budow', 'wig_chemia', 'wig_info', 'wig_media',
'wig_nrchom', 'wig_paliwa', 'wig_spozyw', 'wig_telkom')
colnames(stopa_prosta_stat) <- c('Średnia', 'Odchylenie standardowe', 'Mediana')
kbl(stopa_prosta_stat) %>%
footnote(general = "Wybrane statystyki opisowe", general_title = "Tabela 1: ", footnote_as_chunk = T) %>%
kable_styling(bootstrap_options = "striped", full_width = F, position = "float_right")| Średnia | Odchylenie standardowe | Mediana | |
|---|---|---|---|
| wig | 0.0076667 | 0.0519316 | 0.0040155 |
| wig_banki | 0.0087354 | 0.0774062 | -0.0001354 |
| wig_budow | 0.0023051 | 0.0763852 | -0.0053675 |
| wig_chemia | 0.0117173 | 0.0810652 | 0.0035270 |
| wig_info | 0.0115140 | 0.0511910 | 0.0080527 |
| wig_media | 0.0103496 | 0.0595655 | 0.0097523 |
| wig_nrchom | 0.0062989 | 0.0637579 | 0.0060606 |
| wig_paliwa | 0.0109265 | 0.0751327 | 0.0129979 |
| wig_spozyw | 0.0093334 | 0.0673888 | 0.0030228 |
| wig_telkom | 0.0018307 | 0.0631702 | 0.0055665 |
| Tabela 1: Wybrane statystyki opisowe |
Stopa zwrotu jest wskaźnikiem finansowym, miarą ryzyka danego przedsięwzięcia czy inwestycji. Prosta stopa zwrotu mu postać:
\[R_{t} = \frac{P_t - P_{t-1}}{P_{t-1}}\]
\(R_{t}\) - prosta stopa zwrotu
\(P_{t}\) - wartość zamknięcia indeksu w czasie t
\(P_{t-1}\) - wartość zamknięcia indeksu w czasie t-1
W Tabeli 1 przedstawiono wybrane statystyki opisowe analizowanych indeksów. Średnia miesięczna stopa zwrotu waha się od 0,18% dla WIG-Telekomunikacja do 1,17% dla WIG-Chemia. Z uwagi na to, można stwierdzić, iż inwestycje w badanych branżach przynoszą zysk. Warto zaznaczyć stosunkowo duże odchylenie standardowe. Natomiast mediana przyjmuje wartości od -0,53% do 1,29%. Średnia nie jest bardzo bliska średniej, co może wskazywać na asymetrię próby.
wykres_p <- cbind(dane[2:151,1], stopa_prosta)
colnames(wykres_p) <- colnames(dane)
wykres <- melt.data.frame(wykres_p, id=c('Data'))
colnames(wykres) <- c("Data", "Indeks", "Wartosc")
wykres$Wartosc <- round(wykres$Wartosc, 3)
wykres$Data <- as.yearmon(wykres$Data)
p1<-wykres %>%
ggplot(aes(x=Data, y=Wartosc, color=Indeks)) +
geom_line(alpha=0.7) +
geom_point(size=.9)+
theme_bw() +
geom_hline(yintercept=0, linetype="solid", color = "black", alpha=0.5) +
labs(y = "Wartość prostej stopy zwrotu", x="Lata", title = "Wartości prostych stóp zwrotu dla wybranych indeksów")
ggplotly(p1) %>% rangeslider(start = wykres$Data[1], end = wykres$Data[150]) %>%
layout(autosize = T)Wycena instrumentów finansowych może być dokonana za pomocą jednoczynnikowego modelu CAPM (Capital Asset Pricing Model). Postać tego modelu jest następująca:
\[R_{it} - r_{ft} = \alpha_{i} + \beta_{i}(R_{Mt} - r_{ft}) + \varepsilon_{it}\]
\(R_{it}\) - stopa zwrotu i-tego portfela w czasie t
\(r_{ft}\) - stopa zwrotu wolna od ryzyka
\(R_{Mt}\) - stopa zwrotu portfela rynkowego
\(\alpha_{i}\), \(\beta_{i}\) - parametry strukturalne modelu
\(\varepsilon_{it}\) - zakłócenia losowe
Po oddzielnym oszacowaniu dziewięciu modeli za pomocą metody najmniejszych kwadratów okazuje się, iż macierz wariancji-kowariancji reszt nie jest diagonalna, a co za tym idzie, reszty z poszczególnych modeli są ze sobą skorelowane.
Właściwa więc wydaje się łączna estymacja modeli, ponieważ może być bardziej efektywna niż estymacja pojedyncza. Model pozornie niezależnych regresji SUR (ang. Seemingly Unrelated Regressions) umożliwia taką estymację z wykorzystaniem uogólnionej metody najmniejszych kwadratów.
Należy zauważyć, iż model CAPM jest przypadkiem szczególnym, ponieważ zmienną objaśniająca w każdym równaniu jest ta sama zmienna (w omawianej pracy zmienna WIG). W takiej sytuacji metoda SUR jest tak samo efektywna jak estymacja każdego równania z osobna metodą najmniejszych kwadratów. Obie metody dają takie same oszacowania estymatorów.
Z uwagi na powyższe w pracy dokonano dziewięciu oddzielnych oszacowań estymatorów (dla każdego równania z osobna).
alpha <- as.data.frame(matrix(data = NA, nrow = 2, ncol = ncol(stopa_prosta)-1))
alpha_pvalue <- as.data.frame(matrix(data = NA, nrow = 1, ncol = ncol(stopa_prosta)-1))
reszty <- as.data.frame(matrix(data = NA, nrow = nrow(stopa_prosta), ncol = ncol(stopa_prosta)-1))
for (k in 2:ncol(stopa_prosta))
{
model <- lm(stopa_prosta[,k] ~ stopa_prosta[,1])
reszty[,k-1] <- model$residuals
alpha[,k-1] <- model$coefficients
alpha_pvalue[,k-1] <- summary(model)$coefficient[1,4]
}
cov_reszty <- cov(reszty)
sigma_odwrotna <- as.matrix(solve(cov(reszty)))
alpha <- as.matrix(alpha)
alpha_t <- as.matrix(t(alpha))
GRS = (T/N) * ((T-N-K)/(T-K-1) * (alpha[1,] %*% sigma_odwrotna %*% alpha_t[,1]) /
(1 + mean(stopa_prosta[,1])^2 / var(stopa_prosta[,1])))
rownames(cov_reszty) <- colnames(cov_reszty) <- c('WIG-Banki', 'WIG-Budownictwo', 'WIG-Chemia', 'WIG-Informatyka', 'WIG-Media', 'WIG-Nieruchomości', 'WIG-Paliwa', 'WIG-Spożywczy', 'WIG-Telekomunikacja')
kbl(cov_reszty) %>%
kable_styling(bootstrap_options = c("striped"))| WIG-Banki | WIG-Budownictwo | WIG-Chemia | WIG-Informatyka | WIG-Media | WIG-Nieruchomości | WIG-Paliwa | WIG-Spożywczy | WIG-Telekomunikacja | |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| WIG-Banki | 0.0014312 | -0.0004647 | -0.0008587 | -0.0004609 | 0.0000527 | -0.0000617 | -0.0002474 | -0.0000285 | -0.0004912 |
| WIG-Budownictwo | -0.0004647 | 0.0036536 | 0.0003253 | 0.0009676 | 0.0009192 | 0.0009564 | -0.0007893 | 0.0003696 | 0.0002647 |
| WIG-Chemia | -0.0008587 | 0.0003253 | 0.0041237 | 0.0000550 | 0.0000613 | 0.0000562 | 0.0003865 | 0.0004522 | 0.0002343 |
| WIG-Informatyka | -0.0004609 | 0.0009676 | 0.0000550 | 0.0016075 | 0.0003102 | 0.0002911 | -0.0004465 | 0.0002613 | 0.0002129 |
| WIG-Media | 0.0000527 | 0.0009192 | 0.0000613 | 0.0003102 | 0.0018587 | 0.0004013 | -0.0007805 | 0.0003796 | 0.0001273 |
| WIG-Nieruchomości | -0.0000617 | 0.0009564 | 0.0000562 | 0.0002911 | 0.0004013 | 0.0017063 | -0.0005338 | 0.0003483 | -0.0001366 |
| WIG-Paliwa | -0.0002474 | -0.0007893 | 0.0003865 | -0.0004465 | -0.0007805 | -0.0005338 | 0.0026226 | -0.0004353 | -0.0008476 |
| WIG-Spożywczy | -0.0000285 | 0.0003696 | 0.0004522 | 0.0002613 | 0.0003796 | 0.0003483 | -0.0004353 | 0.0028155 | -0.0004734 |
| WIG-Telekomunikacja | -0.0004912 | 0.0002647 | 0.0002343 | 0.0002129 | 0.0001273 | -0.0001366 | -0.0008476 | -0.0004734 | 0.0034776 |
tab <- as.data.frame(rbind(alpha, alpha_pvalue))
rownames(tab) <- c("Alfa", "Beta", "Wartość p-value dla testu istotności parametru Alfa")
colnames(tab) <- c('WIG-Banki', 'WIG-Budownictwo', 'WIG-Chemia', 'WIG-Informatyka', 'WIG-Media',
'WIG-Nieruchomości', 'WIG-Paliwa', 'WIG-Spożywczy', 'WIG-Telekomunikacja')
kbl(t(tab), col.names = c("$\\alpha_i$", "$\\beta_i$",
"Wartość p-value dla testu istotności parametru $\\alpha_i$")) %>%
kable_styling(bootstrap_options = c("striped", "hover"))| \(\alpha_i\) | \(\beta_i\) | Wartość p-value dla testu istotności parametru \(\alpha_i\) | |
|---|---|---|---|
| WIG-Banki | -0.0012343 | 1.3003918 | 0.6941771 |
| WIG-Budownictwo | -0.0045897 | 0.8993128 | 0.3607096 |
| WIG-Chemia | 0.0044131 | 0.9527159 | 0.4079952 |
| WIG-Informatyka | 0.0068151 | 0.6128936 | 0.0418868 |
| WIG-Media | 0.0042816 | 0.7914637 | 0.2323815 |
| WIG-Nieruchomości | -0.0008712 | 0.9352197 | 0.7993373 |
| WIG-Paliwa | 0.0028103 | 1.0586197 | 0.5086074 |
| WIG-Spożywczy | 0.0032004 | 0.7999485 | 0.4675915 |
| WIG-Telekomunikacja | -0.0015126 | 0.4360805 | 0.7572187 |
#GRS
#qf(0.95,N,T-N-K)Test GRS umożliwia weryfikację, czy wektor \(\alpha\) jest istotny. Jeśli nie jest istotny, to znaczy, że ryzko dla poszczególnych portfeli zależy tylko od rynku.
Hipotezy testu GRS mają postać:
\(H_0:\alpha=0\)
\(H_1:\alpha\neq0\)
Statystykę GRS oblicza się według poniższego wzoru:
\[GRS=(\frac{T}{N})(\frac{T-N-K}{T-K-1})(\frac{\hat\alpha^{T}\Sigma^{-1}\hat\alpha}{1+\hat\mu^{T}\hat V^{-1}\hat\mu})\] gdzie:
\(T\) - liczba obserwacji
\(N\) - liczba portfeli
\(K\) - liczba czynników
\(\hat\alpha\) - wektor wyrazów wolnych
\(\hat\Sigma\) - macierz wariancji-kowariancji reszt
\(\hat\mu\) - średnia czynnika WIG
\(\hat V\) - wariancja czynnika WIG
Wartość statystyki GRS jest równa około 1.34. Natomiast wartość krytyczna F o N st. swobody licznika i T-N-K st. swobody mianownika jest równa w przybliżeniu 1.95 (dla przyjętego poziomu istotności: 5%). Z uwagi na to, że wartość statystyki GRS jest mniejsza niż wartość krytyczna F, to brak jest podstaw od odrzucenia hipotezy głównej. Wektor parametrów \(\alpha_{i}\) jest nieistotny. Gdyby przyjąć inny, mniejszy niż 5% poziom istotności, to wartość statystyki F byłaby większa niż 1.95, dlatego wniosek byłby taki sam - nieistotność wektora parametrów \(\alpha_{i}\).
Zerowa wartość wyrazów wolnych pozwala stwierdzić, iż czynnik uzwględniowny w modelu (WIG) jest wystarczający do określania stóp zwrotu portfeli branżowych. Przeprowadzony test GRS pozwala na stwierdzenie, że stopy zwrotu portfeli branżowych zależą tylko od rynku.
Ogromną zaletą testu GRS jest fakt, iż pozwala on na sprawdzanie modelu jako całości, a nie dla jednego portfela branżowego.
Przeprowadzając test istotności stałej dla każdego modelu z osobna dla ośmiu z dziewięciu modelu na poziomie istotności 5% można stwierdzić, iż stała jest nieistotna. Dla WIG-Informatyka p-value jest równe około 0.04, dlatego na poziomie istotności 5% stała ta jest istotna. Gdyby jednak przyjąć inny poziom istotności (np. 1%), to stała byłaby nieistotna w każdym modelu.
Parametr strukturalny \(\beta\) jest większy niż 1 dla WIG-Banki i WIG-Paliwa. Oznacza to, iż są to branże, w które warto inwestować.